数论进阶

• 1. 欧拉函数

  • 1.1. 欧拉函数的定义

  • 1.2. 欧拉函数的性质

• 2. 欧拉定理

• 3. 费马小定理

• 4. 费马大定理

• 5. 哥德巴赫猜想

  • 5.1. 当前进展

• 6. 中国剩余定理

1. 欧拉函数

1.1. 欧拉函数的定义

对于正整数 $n$，欧拉函数 $\varphi(n)$ 表示小于等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的个数。

1.2. 欧拉函数的性质

1. 若 $p$ 为质数，那么 $\varphi(p) = p-1$

   • （因为 $p$ 为质数，所以小于 $p$ 的所有正整数都与 $p$ 互质。）

2. 如果 $m$ 和 $n$ 互质，那么 $\varphi(mn) = \varphi(m) + \varphi(n)$

2. 欧拉定理

这里指的是数论中的欧拉定理。

如果 $a$ 和 $n$ 互质，那么 $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$

3. 费马小定理

费马小定理是欧拉定理的一个特例。费马小定理的公式为：

$$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$

其中：

• $p$ 是一个质数。

• $a$ 是一个整数，且 $a$ 不是 $p$ 的倍数。

为什么费马小定理是欧拉定理的特例？

当 $n$ 是一个质数 $p$ 时，欧拉函数 ${\varphi(n)}$ 的值就等于 $p-1$ 。这是因为，当 $n$ 是质数时，小于 $n$ 的所有正整数都与 $n$ 互质。

将 ${\varphi(n)}$ 替换为 $p-1$ ，欧拉定理就变成了费马小定理。

所以，费马小定理可以看作是欧拉定理在 $n$ 为质数时的特殊情况。

4. 费马大定理

费马大定理在 1995 年被安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明。 经过了长达 350 多年的努力，这个困扰数学家无数的难题终于被破解。

费马大定理（亦名费马最后定理 Fermat's Last Theorem），其概要为：

当 $n$ 为大于 $2$ 的正整数时，方程

$$x^n + y^n = z^n$$

没有非零整数解 $x, y, z$。

5. 哥德巴赫猜想

进展：哥德巴赫猜想还未被完全证明。

哥德巴赫猜想：任何一个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数之和。

5.1. 当前进展

20世纪中叶，中国数学家陈景润取得了重大进展，证明了“1+2”，即：任何一个充分大的偶数都可以表示为一个素数与另一个不超过两个素数的乘积之和。这个结果被国际数学界称为“陈氏定理”。

6. 中国剩余定理

TBD